19．已知：如图1，∆ABC为锐角三角形，AB=AC．
求作：菱形ABDC．
作法：如图2．
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以OA长为半径作弧，与射线AE交于点D，点D和点A分别位于BC的两侧，连接CD，BD；
则四边形ABDC就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形 （保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：由作法可知，AE平分∠CAB．
∵AB=AC，
∴CO=      ．
∵AO=DO，
∴四边形ABDC是平行四边形(      )（填推理的依据）
∵AB=AC，
∴四边形ABDC是菱形(      )（填推理的依据）．

20．如图，在中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O，求证：OE=OF．

21．如表是一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中y与x的两组对应值．

（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求这个一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．

22．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形ABC．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．

23．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日．某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据，得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)，从左到右依次为第一组到第五组．
信息二：第三组的成绩 （单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79．
根据信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图 （直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是       分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是       分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁经过原点，且与直线l₂:y=-x+3交于点A（m，2），直线l₂与x轴交于点B．
（1）求直线l₁的函数解析式；
（2）点P（n，0）在x轴上，过点P作平行于y轴的直线，分别与直线l₁，l₂交于点M，N．若MN=OB，求n的值．

25．如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD．过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，CF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）求DE的长．

26．某种机器工作前先将空油箱加满 （加油过程），然后停止加油立即开始工作 （加工过程）．当停止工作时，油箱中油量为10升．在整个过程中，油箱里的油量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示．
（1）机器加油过程中每分钟加油量为       升，机器加工过程中每分钟耗油量为       升；
（2）求机器加工过程中y关于x的函数解析式；
（3）当油箱中油量为油箱容积的一半时，直接写出此时x的值．

27．如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，∠BAP=α．作点D关于直线AP的对称点E，连接AE．作射线EB交直线AP于点F，连接CF．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠ABE的度数 （用含α的式子表示）；
（3）①∠AFB=      °；
②用等式表示BE，CF的数量关系，并给出证明．

28．在平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤1，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（3，3），B（-3，3）．
（1）在点P₁（-2，2），P₂（0，3.5），P₃（4，0）中，直线AB的和谐点是       ；
（2）点P在直线y=x-1上，如果点P是直线AB的和谐点，求点P的横坐标x的取值范围；
（3）已知点C（-3，-3），D（3，-3），如果直线y=x+b上存在正方形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点 （含端点）都是正方形ABCD的和谐点，且EF>，直接写出b的取值范围．