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【2020-2021学年北京二中教育集团九年级(上)期中数学试卷】-第1页

试卷格式:2020-2021学年北京二中教育集团九年级(上)期中数学试卷.PDF
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试卷题目
1.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
  • A. 科克曲线
  • B. 笛卡尔心形线
  • C. 赵爽弦图
  • D. 斐波那契螺旋线
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则tanB的值是(  )
  • A.
    5
    12
  • B.
    5
    13
  • C.
    12
    13
  • D.
    13
    12

3.抛物线y=x2+2x+2的对称轴是(  )
  • A. 直线x=1
  • B. 直线x=-1
  • C. 直线y=-1
  • D. 直线y=1
4.如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°,得△A′B′O′,则点A′的坐标为(  )

  • A. (3,1)
  • B. (3,2)
  • C. (2,3)
  • D. (1,3)
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为位似中心,把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2),B(2,0),D(5,0),则点A的对应点C的坐标是(  )

  • A. (2,5)
  • B. (
    5
    2
    ,5)
  • C. (3,5)
  • D. (3,6)
6.如图,在⊙O中,点C是AB上一点,若∠AOB=126°,则∠C的度数为(  )

  • A. 127°
  • B. 117°
  • C. 63°
  • D. 54°
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A,B,对系数a和b判断正确的是(  )

  • A. a>0,b>0
  • B. a<0,b<0
  • C. a>0,b<0
  • D. a<0,b>0
8.如图,点A,B,C,D,E为⊙O的五等分点,动点M从圆心O出发,沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动,设运动的时间为t,∠DME的度数为y,则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是(  )

  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
9.如图所示的网格是正方形网格,则tanα      tanβ.(填“>”,“=”或“<”)

10.如图,点P是反比例函数y=
k
x
图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,如果构成的矩形面积是3,那么反比例函数的解析式是    

11.将y=x2-2x+3化成y=a(x-h)2+k的形式,则y=      
12.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:“今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?”意思就是:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆(如图所示),它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为      

13.若关于x的一元二次方程(a+3)x2+2x+a2-9=0有一个根为0,则a的值为      
14.如图,AB是⊙O的一条弦,P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),C,D分别是AB,BP的中点.若AB=4,∠APB=45°,则CD长的最大值为      

15.下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果.
投针次数n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000 
针与直线相交的次数m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548 
针与直线相交的频率p=
m
n
 
0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774 

下面有三个推断:
①投掷1000次时,针与直线相交的次数是454,针与直线相交的概率是0.454;
②随着实验次数的增加,针与直线相交的频率总在0.477附近,显示出一定的稳定性,可以估计针与直线相交的概率是0.477;
③若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为10000时,针与直线相交的频率一定是0.4769.
其中合理的推断的序号是:      
16.计算:(
1
3
)-1+
18
+|-2|-6sin45°.
17.下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.
已知:⊙O及⊙O外一点P.
求作:⊙O的一条切线,使这条切线经过点P.
作法:①连接OP,作OP的垂直平分线l,交OP于点A;
②以A为圆心,AO为半径作圆,交⊙O于点M;
③作直线PM,则直线PM即为⊙O的切线.
根据小芸设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:连接OM,
由作图可知,A为OP中点,
∴OP为⊙A直径,
∴∠OMP=      °,(      )(填推理的依据)
即OM⊥PM.
又∵点M在⊙O上,
∴PM是⊙O的切线.(      )(填推理的依据)

18.关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是正整数,求m的最小值.
19.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.

20.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+2与函数y=
k
x
(k≠0)的图象交于A,B两点,且点A的坐标为(1,m).
(1)求k,m的值;
(2)直接写出关于x的不等式2x+2>
k
x
的解集;
(3)若Q在x轴上,△ABQ的面积是6,求Q点坐标.

21.甲、乙、丙、丁4人聚会,每人带了一件礼物,4件礼物从外盒包装看完全相同,将4件礼物放在一起.
(1)甲从中随机抽取一件,则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是    
(2)甲先从中随机抽取一件,不放回,乙再从中随机抽取一件,求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率.
22.如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长.

23.用长为6米的铝合金条制成如图所示的框,若窗框的高为x米,窗户的透光面积为y平方米(铝合金条的宽度不计).
(1)y与x之间的函数关系式为      (不要求写自变量的取值范围);
(2)如何安排窗框的高和宽,才能使窗户的透光面积最大?并求出最大面积.

24.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,如图一是函数y=x2-1的图象,通过图象可以探究它的对称性,增减性,最值等情况.下面对函数y=|x2-1|展开探索.经历分析解析式、列表、描点、连线等过程得到函数y=|x2-1|的图象如图二所示:
… -3 -
5
2
 
-2 -
3
2
 
-1 -
1
2
 
1
2
 
3
2
 
5
2
 
… 
… 
21
4
 
3
4
 
5
4
 
21
4
 
… 

(1)表格中a=    ,b=    
(2)观察发现:函数y=|x2-1|的图象是轴对称图形,写出该函数图象的对称轴;
(3)拓展应用:①如果y随x的增大而增大,则x的取值范围是      
②已知方程|x2-1|=k(k是一个常数)有两个解,则k的取值范围是      

25.已知抛物线y=x2-2mx+m2-4,抛物线的顶点为P.
(1)求点P的纵坐标.
(2)设抛物线x轴交于A、B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),x2>x1
①判断AB长是否为定值,并证明.
②已知点M(0,-4),且MA≥5,求x2-x1+m的取值范围.

26.如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AC延长线上一点,连接BD,在BC边上取一点E,使得CD=CE,连接AE并延长交BD于点F.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:AF⊥BD;
(3)连接CF,点C关于BD的对称点是Q,连接FQ,用等式表示线段CF,CQ之间的数量关系,并加以证明.

27.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(a,b),点P的变换点P'的坐标定义如下:
当a>b时,点P'的坐标为(-a,b);当a≤b时,点P'的坐标为(-b,a).
(1)点A(3,1)的变换点A'的坐标是      ;点B(-4,2)的变换点为B',连接OB,OB',则∠BOB'=      °;
(2)已知抛物线y=-(x+2)2+m与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),顶点为E.点P在抛物线y=-(x+2)2+m上,点P的变换点为P'.若点P'恰好在抛物线的对称轴上,且四边形ECP'D是菱形,求m的值;
(3)若点F是函数y=-2x-6(-4≤x≤-2)图象上的一点,点F的变换点为F',连接FF',以FF'为直径作⊙M,⊙M的半径为r,请直接写出r的取值范围.

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