2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷-乐乐课堂

1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是(　　)

A.
B.
C.
D.

2．下列方程是一元二次方程的是(　　)

A. (x-3)x=x²+2
B. ax²+bx+c=0
C. 3x²-
1
x
+2=0
D. 2x²=1

3．将抛物线y=x²向右平移2个单位后，抛物线的解析式为(　　)

A. y=(x+2)²
B. y=x²+2
C. y=(x-2)²
D. y=x²-2

4．用配方法解方程x²+6x+4=0时，原方程变形为(　　)

A. (x+3)²=9
B. (x+3)²=13
C. (x+3)²=5
D. (x+3)²=4

5．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是(　　)

A. 60(1+2x)=100
B. 100(1+x)²=60
C. 60(1+x)²=100
D. 60+60(1+x)+60(1+x)²=100

6．已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解为(　　)

A. x₁=-3，x₂=0
B. x₁=3，x₂=-1
C. x₁=-3，x₂=-1
D. x₁=-3，x₂=1

7．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠C=15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度(0°＜α＜180°)得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为(　　)

A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°

8．抛物线y=(x+1)²+3的顶点坐标是(　　)

A. (1，-3)
B. (1，3)
C. (-1，3)
D. (-1，-3)

9．如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具有函数关系为h=20t-5t²，则小球从飞出到落地的所用时间为(　　)

A. 3s
B. 4s
C. 5s
D. 6s

10．二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤当y＜0时，-1＜x＜3．其中正确的个数为(　　)

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

11．点P(1，-2)关于原点的对称点的坐标是．

12．抛物线y=x²-2x-3有最 (填大或小)值，最值为．

13．若关于x的一元二次方程(m-1)x²+3x+2=0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

14．已知点A(-2，y₁)，B(5，y₂)为函数y=x²+a图象上的两点，比较：y₁ y₂．

15．一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程x²-6x+8=0的根，则这个三角形的周长为．

16．在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是．

17．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²的图象如图所示．已知A点坐标为(1，1)，过点A作AA₁∥x轴交抛物线于点A₁，过点A₁作A₁A₂∥OA交抛物线于点A₂，过点A₂作A₂A₃∥x轴交抛物线于点A₃，过点A₃作A₃A₄∥OA交抛物线于点A₄…，依次进行下去，则点A₂₀₂₁的坐标为．

18．解方程：3x²-x-1=0．

19．已知二次函数的图象以点A(-1，4)为顶点，且过点B(2，-5)．
(1)求该函数的解析式；
(2)直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁；
(2)画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A₂BC₂．

21．已知关于x的方程x²+ax+a-2=0．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：二次函数y=x²+ax+a-2的图象与x轴有两个交点．

22．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
(1)求证：BE=CF；
(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

23．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
(1)若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
(2)设每件降价x元，每天盈利y元，则每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？

24．一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

(1)如图(1)，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．
(2)将图(1)中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图(2)，此时重叠部分的面积为，周长为．
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图(1)和图(2)的图形，如图(3)，请你猜想此时重叠部分的面积为________．并证明你的结论．

25．已知：如图，抛物线y=ax²+3ax+c(a＞0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1，0)，OC=3BO．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．