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2021年北京市东城区中考数学二模试卷

试卷格式:2021年北京市东城区中考数学二模试卷.PDF
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试卷题目
1.下列各数中,小于
2
的正整数是(  )
  • A. -1
  • B. 0
  • C. 1
  • D. 2
2.在下列不等式中,解集为x>-1的是(  )
  • A. 2x>2
  • B. -2x>-2
  • C. 2x<-2
  • D. -2x<2
3.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为2,点A(1,
3
)与⊙O的位置关系是(  )
  • A. 在⊙O上
  • B. 在⊙O内
  • C. 在⊙O外
  • D. 不能确定
4.下列式子中,运算正确的是(  )
  • A. (1+x)2=1+x2
  • B. a2·a4=a8
  • C. -(x-y)=-x-y
  • D. a2+2a2=3a2
5.如图,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.若⊙O的半径为5,则半径OA,OB与围成的扇形的面积是(  )

  • A. 2π
  • B. 5π
  • C.
    25
    6
    π
  • D. 10π
6.在平面直角坐标系xOy中,点A,B是直线y=x与双曲线y=
4
x
的交点,点B在第一象限,点C的坐标为(6,-2),若直线BC交x轴于点D,则点D的横坐标为(  )
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
7.多年来,北京市以强有力的措施和力度治理大气污染,空气质量持续改善,主要污染物的年平均浓度值全面下降.如图是1998年至2019年二氧化硫(SO2)和二氧化氮(NO2)的年平均浓度值变化趋势图,下列说法错误的是(  )

  • A. 1998年至2019年,SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数
  • B. 1998年至2019年,SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数
  • C. 1998年至2019年,SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差
  • D. 1998年至2019年,SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快
8.四位同学在研究函数y=-x2+bx+c(b,c是常数)时,甲同学发现当x=1时,函数有最大值;乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为(0,-3);丙同学发现函数的最大值为4;丁同学发现当x=3时,函数的值为0.若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的,则该同学是(  )
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
9.若分式
2
x-1
有意义,则x的取值范围是      
10.分解因式:mx2-9m=      
11.用一个k的值推断命题“一次函数y=kx+1(k≠0)中,y随着x的增大而增大”.是错误的,这个值可以是k=      
12.某校九年级(1)班计划开展“讲中国好故事”主题活动.第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题,并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上,然后将卡片放入不透明的口袋中.组长小东从口袋中随机抽取一张卡片,抽到含“红”字的主题卡片的概率是    
13.如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=EF,要使△ABC≌△EDF,只需添加一个条件,这个条件可以是      

14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),B(5,4).若四边形OABC是平行四边形,则OABC的周长等于      
15.若点P在函数y=的图象上,且到x轴的距离等于1,则点P的坐标是      

16.数学课上,李老师提出如下问题:
已知:如图,AB是⊙O的直径,射线AC交⊙O于C.
求作:弧BC的中点D.
同学们分享了四种方案:
①如图1,连接BC,作BC的垂直平分线,交⊙O于点D.
②如图2,过点O作AC的平行线,交⊙O于点D.
③如图3,作∠BAC的平分线,交⊙O于点D.
④如图4,在射线AC上截取AE,使AE=AB,连接BE,交⊙O于点D.

上述四种方案中,正确的方案的序号是      

17.计算:(-5)0+
27
+2-1-tan60°.
18.先化简代数式
a2+1
a-1
+1-a,再求当a满足a-2=0时,此代数式的值.
19.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,直线l过点A.点B与点D关于直线l对称,连接AD,CD.求证:∠ACD=∠ADC.

20.已知:如图,点C在∠MON的边OM上.
求作:射线CD,使CD//ON,且点D在∠MON的角平分线上.
作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线OM,ON于点A,B;②分别以点A,B为圆心,大于
1
2
AB的长为半径画弧,交于点Q;③画射线OQ;④以点C为圆心,CO长为半径画弧,交射线OQ于点D;⑤画射线CD.射线CD就是所求作的射线.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明:
∵OD平分∠MON,
∴∠MOD=      
∵OC=CD,
∴∠MOD=      
∴∠NOD=∠CDO,
∴CD//ON(      )(填推理的依据).

21.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0(m≠0).
(1)求证:此方程总有实数根;
(2)写出一个m的值,使得此该方程的一个实数根大于1,并求此时方程的根.
22.如图,在菱形ABCD中,点E是CD的中点,连接AE,交BD于点F.
(1)求BF:DF的值;
(2)若AB=2,AE=
3
,求BD的长.

23.在平面直角坐标系xOy中,直线l与双曲线y=
k
x
(k≠0)的两个交点分别为A(-3,-1),B(1,m).
(1)求k和m的值;
(2)点P为直线l上的动点,过点P作平行于x轴的直线,交双曲线y=
k
x
(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的右侧时,求点P的纵坐标n的取值范围.
24.如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AC上.过点B作直线交AC的延长线于点D,使得∠CBD=∠CAB.过点A作AE⊥BD于点E,交⊙O于点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AF=4,sinD=
2
3
,求BE的长.

25.中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次,对我国国民阅读总体情况进行了综合分析.2021年4月23日,第十八次全国国民阅读调查结果发布.
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息:
a.本次调查有效样本容量为46083,成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1.
b.2020年,成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本,人均电子书阅读量约为3.29本;2019年,成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本,人均电子书阅读量约为2.84本.
c.2012年至2020年,未成年人的年人均图书阅读量如图2.

根据以上信息,回答问题:
(1)第十八次全国国民阅读调查中,未成年人样本容量占有效样本容量的      
(2)2020年,成年人的人均图书阅读量约为      本,比2019年多      本;
(3)在2012年至2020年中后一年与前一年相比,            的增长率最大;
(4)2020年,未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高      %(结果保留整数).
26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-3ax+1与y轴交于点A.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)点B是点A关于对称轴的对称点,求点B的坐标;
(3)已知点P(0,2),Q(a+1,1),若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
27.已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形,∠ADE=∠BAC=90°,P为AE的中点,连接DP.

(1)如图1,点A,B,D在同一条直线上,直接写出DP与AE的位置关系;
(2)将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转,当AD落在图2所示的位置时,点C,D,P恰好在同一条直线上.
①在图2中,按要求补全图形,并证明∠BAE=∠ACP;
②连接BD,交AE于点F.判断线段BF与DF的数量关系,并证明.
28.对于平面直角坐标系xOy中的图形W,给出如下定义:点P是图形W上任意一点,若存在点Q,使得∠OQP是直角,则称点Q是图形W的“直角点”.

(1)已知点A(6,8),在点Q1(0,8),Q2(-4,2),Q3(8,4)中,            是点A的“直角点”;
(2)已知点B(-3,4),C(4,4),若点Q是线段BC的“直角点”,求点Q的横坐标n的取值范围;
(3)在(2)的条件下,已知点D(t,0),E(t+1,0),以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG.若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”,直接写出t的取值范围.
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