2020-2021学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷-乐乐课堂

1．在抛物线y=x²-4x-5上的一个点的坐标为(　　)

A. (0，-4)
B. (2，0)
C. (1，0)
D. (-1，0)

2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是(　　)

A. πcm
B. 2πcm
C. 3πcm
D. 6πcm

3．将抛物线y=x²先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为(　　)

A. y=(x+3)²+5
B. y=(x-3)²+5
C. y=(x+5)²+3
D. y=(x-5)²+3

4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形(图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素(忽略误差)，图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是(　　)

A. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1
B. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2
C. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1
D. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1

5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB=32°，则∠ABC等于(　　)

A. 68°
B. 64°
C. 58°
D. 32°

6．若抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)两点，则抛物线的对称轴为(　　)

A. x=1
B. x=2
C. x=3
D. x=4

7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为(　　)

A. 2.44(1+x)=6.72
B. 2.44(1+2x)=6.72
C. 2.44(1+x)²=6.72
D. 2.44(1-x)²=6.72

8．现有函数y=如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x=m时，y=n，那么实数a的取值范围是(　　)

A. -5≤a≤4
B. -1≤a≤4
C. -4≤a≤1
D. -4≤a≤5

9．若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是．

10．若抛物线y=ax²(a≠0)经过A(1，3)，则该抛物线的解析式为．

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=9，则sinB= ．

12．若抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0(填“＞”，“=”或“＜”)．

13．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD=6，则EB= ．

14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA=2，∠APB=60°，则PB= ．

15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
若连接OA，OE，可证得以下结论：
①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA=

1

2

(180°-∠ODA)，∠COE=

1

2

(180°-∠ )；
②四边形ABCD为平行四边形(理由是 )；
③∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当

DC

CB

=

3

5

时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P(4，3)，⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA=PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．
(1)⊙O的半径为；
(2)tanα= ．

17．计算：2sin60°-tan45°+cos²30°．

18．已知关于x的方程x²+2x+k-4=0．
(1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若k=1，求该方程的根．

19．借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD=4，CD=2，AD=3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．
(1)补全图形；
(2)填空：∠BEC= °，理由是；
(3)判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；
(4)∠BAC ∠BEC(填“＞”，“=”或“＜”)．

20．二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过(3，0)点，当x=1时，函数的最小值为-4．
(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；
(2)直线x=m与抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)和直线y=x-3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．

21．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD=∠A，OD交⊙O于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD=4，AC=2.7，cos∠BCD=

9

20

，求DE的长．

22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE=1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动(点P可与点E，点F重合)，作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM=x，矩形PMDN的面积为S．
(1)DM= (用含x的式子表示)，x的取值范围是；
(2)求S与x的函数关系式；
(3)要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．

23．已知抛物线y=-

1

2

x²+x．
(1)直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；
(2)已知该抛物线经过A(3n+4，y₁)，B(2n-1，y₂)两点．
①若n＜-5，判断y₁与y₂的大小关系并说明理由；
②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y₁＞y₂，直接写出n的取值范围．

24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

√3

．将△ABC绕点B顺时针旋转α(0°＜α≤120°)得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
(1)如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α= °，AA'= ；
(2)当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；
②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．

25．对于平面内的图形G₁和图形G₂，记平面内一点P到图形G₁上各点的最短距离为d，点P到图形G₂上各点的最短距离为d₂，若d₁=d₂，就称点P是图形G₁和图形G₂的一个“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，B(0，2

√3

)．
(1)在R(3，0)，S(2，0)，T(1，

√3

)三点中，点A和点B的等距点是；
(2)已知直线y=-2．
①若点A和直线y=-2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为；
②若直线y=a上存在点A和直线y=-2的等距点，求实数a的取值范围；
(3)记直线AB为直线l₁，直线l₂：y=-

√3

3

x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l₁和直线l₂的等距点，以及n个直线l₁和y轴的等距点(m≠0，n≠0)，当m≠n时，求r的取值范围．