2020-2021学年北京市门头沟区大峪中学九年级（上）期中数学试卷-乐乐课堂

1．如果3a=2b(ab≠0)，那么比例式中正确的是(　　)

A.
a
b
=
3
2
B.
b
a
=
2
3
C.
a
2
=
b
3
D.
a
3
=
b
2

2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是(　　)

A. 8
B. 6
C. 4
D. 3

3．抛物线y=(x+2)²-3的顶点坐标是(　　)

A. (2，-3)
B. (-2，-3)
C. (-2，3)
D. (2，3)

4．点A(1，y₁)，B(3，y₂)是反比例函数y=-

6

x

图象上的两点，那么y₁，y₂的大小关系是(　　)

A. y₁＞y₂
B. y₁=y₂
C. y₁＜y₂
D. 不能确定

5．把抛物线y=x²+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线(　　)

A. y=(x+3)²-1
B. y=(x+3)²+3
C. y=(x-3)²-1
D. y=(x-3)²+3

6．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100-2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，列方程为(　　)

A. 30(100-2x)=x-200
B. x(100-2x)-30x=200
C. 30(100-2x)=200
D. (x-30)(100-2x)=200

7．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A、D、B在同一直线上，CD⊥AB，则A、B两点的距离是(　　)

A. 200m
B. 200
√3
m
C. 200(
√3
+1)m
D. 100(
√3
+1)m

8．在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y=ax²-2ax经过A，B，则下列说法不正确的是(　　)

A. 抛物线的开口向上
B. 抛物线的对称轴是直线x=1
C. 点B在抛物线对称轴的左侧
D. 抛物线的顶点在第四象限

9．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　)

A.
AB
AD
=
AC
AE
B.
AB
AD
=
BC
DE
C. ∠B=∠D
D. ∠C=∠AED

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是(　　)

A.
5
12
B.
5
13
C.
12
13
D.
12
5

11．如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x=-2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=m必有两个不相等的实数根；
④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c＞ax²+bx+c时，x的取值范围是-4＜x＜0；
其中推断正确的是(　　)

A. ①②
B. ①③
C. ①③④
D. ②③④

12．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是(　　)

A.
B.
C.
D.

13．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，-1)的抛物线的解析式．

14．如图，点A在双曲线y=

1

x

上，点B在双曲线y=

3

x

上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．

15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是．

16．点A(-1，y₁)、B(1，y₂)在二次函数y=x²-2x-1的图象上，则y₁与y₂的大小关系是y₁ y₂．(用“＞”、“＜”、“=”填空)

17．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm．

18．北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD(北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁)与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为丈．

19．如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．若抛物线y=(x-h)²与正方形OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是．

20．如图，点A是抛物线y=x²-4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为．

21．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v(单位：吨/天)，卸货天数为t．
(1)直接写出v关于t的函数表达式：v= ；(不需写自变量的取值范围)
(2)如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？

22．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．
(1)求证：△AED∽△ACB；
(2)若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．

23．若二次函数y=ax²+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	…
y	…	-5	0	3	4	3	…

(1)求此二次函数的解析式；
(2)画出此函数图象(不用列表)．
(3)结合函数图象，当-4＜x≤1时，写出y的取值范围．

24．小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．

25．已知二次函数y=x²-kx+k-1(k＞2)．
(1)求证：抛物线y=x²-kx+k-1(k＞2)与x轴必有两个交点；
(2)抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，若△OAC的面积是

2

3

，求抛物线的解析式．

26．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．
某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离．

27．在平面直角坐标系xOy中，函数y=

k

x

(x＞0)的图象G经过点A(4，1)，直线l：y=

1

4

x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
(1)求k的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W．
①当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

28．定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a，b)和抛物线y=x²+ax+b，我们称P(a，b)是抛物线y=x²+ax+b的相伴点，抛物线y=x²+ax+b是点P(a，b)的相伴抛物线．
如图，已知点A(-2，-2)，B(4，-2)，C(1，4)．
(1)点A的相伴抛物线的解析式为；过A，B两点的抛物线y=x²+ax+b的相伴点坐标为；
(2)设点P(a，b)在直线AC上运动：
①点P(a，b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；
②当点P(a，b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．

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